Cómo Conectar un Dominio Personalizado a Firebase Hosting
Para conectar un dominio web personalizado al hosting de firebase, debes de modificar las dns de tu dominio por las de firebase en la plataforma donde lo compraste y posteriormente esperar varios minutos o horas hasta que google termine de procesar ese cambio en tu web.
Seguidamente, te enseño como conectar un dominio personalizado de namecheap a firebase ya que namecheap es la plataforma que uso para comprar dominios y servirá de forma similar como cualquier otra plataforma de tu preferencia.
Por otro lado, si quieres conectar un subdominio, te recomiendo leer el post sobre ¿Cómo conectar un subdominio a firebase?
Agregar Dominio Personalizado en Firebase
Antes de pasar a configurar las dns de nuestro dominio, necesitamos obtener el valor de las dns de firebase.
Para ello debemos ir a la lista de sitios web de nuestro proyecto y seleccionar el sitio web al que queremos agregar nuestro dominio y darle click a Agregar un dominio personalizado

Una vez hecho esto, nos aparecerá una ventana donde nos pedirá el nombre de nuestro dominio.

Posteriormente nos dará un valor de tipo TXT
que debemos agregar en las dns de nuestro dominio en namecheap o cualquier otro proveedor.

Configuración de las DNS en Namecheap
Una vez has copiado el valor que nos entrega firebase, vamos a ir a la configuración de las dns de nuestro proveedor de dominios, en este caso namecheap y vamos agregar el valor de tipo TXT
tal y como se muestra en la siguiente imagen.

Una vez completado, debemos esperar varios minutos o horas hasta que google firebase termine de validar las dns y asigne el dominio a tu página web.